Calcolo percentuale: formula e strumenti di calcolo
In Matematica con calcolo percentuale si indica una serie di operazioni per arrivare a stimare la corrispondenza quantitativa che esiste fra due numeri. La quantità base su cui si effettua la sitma è 100, da cui deriva il nome. Siamo infatti abituati a pensare subito al simbolo % (per cento) quando si nominano le percentuali, ma ogni tanto capita di imbattersi anche nel “per mille”. In questo caso il simbolo da usare è ‰.
Siamo abituati ad avere a che fare con valori percentuali ogni giorno, dal sistema per elaborare tasse agli sconti nei negozi. L’importante però è ricordarsi che una percentuale a sé stante non ha un senso. Lo acquista quando si determina la grandezza di riferimento, per esempio quando si tratta di aumenti o perdite finanziarie. Per un capitale ingente una perdita dell’1% può significare milioni, se invece riguarda una piccola somma può trattarsi di una cifra trascurabile.
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Come eseguire un semplice calcolo percentuale
Per definire in modo più intuitivo le percentuali potremmo dire che rappresentano delle frazioni dove il denominatore è sempre 100.
Il numeratore indica le unità che su questa quantità soddisfano una determinata caratteristica. Questo però non significa che si debbano sempre avere 100 esempi o 100 risultati, ma per chiarezza si rapporta sempre a questo totale. Si parla infatti del 20% di 80, del 70% di 30 e così via.
Per esempio se abbiamo una città di di 60.000 abitanti dove 9.000 hanno più di sessant’anni. A questo punto supponiamo di volerci fare un’idea più chiara di quale sia il numero di anziani presenti. Quando si hanno grandi numeri spesso è difficile capire se il gruppo che ha una determinata caratteristica sia la maggioranza o meno. Così possiamo ricorrere al calcolo percentuale per stabilire ogni 100 persone quante hanno più di sessant’anni.
Basta dividere il gruppo in esame per il totale e poi moltiplicare il risultato ottenuto per il fattore 100. Quindi 9.000 : 60.000 = 0,15, moltiplicato x 100 = 15%.
Di conseguenza su 100 persone ce ne saranno 15 anziane, e le altre 85 (85%) avranno meno di sessant’anni. La percentuale in questo caso rappresenta un campione più piccolo e dunque più facile da inquadrare. I numeri 15 e 85 rappresentano i tassi percentuali dei due diversi gruppi, ossia “persone sopra i 60 anni” e “persone che hanno meno di 60 anni”.
L’esempio superiore ha preso cifre superiori a 1.000, ma nulla vieta di usare le percentuali anche quando il campione ha meno di 100 unità. Supponiamo di avere una classe di 20 persone con dodici maschi e otto ragazze. Per sapere qual è la percentuale dei maschi come prima è sufficiente calcolare 12 : 20 = 0,6 e poi moltiplicare il risultato per 100. Quindi all’interno della classe i maschi rappresentano il 60% degli alunni.
Le formule inverse
Fin qui abbiamo usato il calcolo percentuale per trovare il tasso corrispondente a una data quantità di un campione. Ma quando bisogna ricavare la quantità a partire dal tasso percentuale? Il procedimento inverso è molto semplice e richiede di dividere il tasso per cento per poi moltiplicarlo per il totale considerato. Prendiamo ad esempio un caso in cui sappiamo che il 5% degli studenti di una scuola ha i capelli rossi e in totale l’istituto conta 320 alunni.
Prima di tutto eseguo la divisione 5 : 100 = 0,05, dopodiché moltiplico per 320. Quindi ottengo 0,05 x 320 = 16 alunni che hanno i capelli rossi. Il ragionamento sottostante diventa più intuibile usando però un campione di numerosità pari a un multiplo di 100. Proviamo perciò a dire che in un bosco di 1.000 alberi il 6% è rappresentato da querce. Facendo lo stesso procedimento di prima parto facendo 6 : 100 = 0,06 e poi moltiplico 0,06 x 1.000 = 60 querce.
Tuttavia potrei anche dividere il campione per 100 (1.000 : 100 = 10) e moltiplicare il risultato per il tasso percentuale. Otterrei così 6 x 10 = 60 querce, ossia lo stesso numero trovato prima. In questo caso ho diviso il campione in tanti gruppo da 100 e contato 6 alberi per gruppo, per poi metterli insieme. Volendo posso farlo anche con gruppi più piccoli. Per trovare il 20% di 30 mele posso fare 30 : 100 = 0,3 e finire con 0,3 x 20 = 6 mele.
Il calcolo percentuale e le proporzioni
Oltre che come frazioni con il denominatore pari a 100 possiamo esprimere le percentuali come proporzioni. La loro scrittura varierà a seconda di ciò che il problema richiede di calcolare, ma una possibile relazione esiste sempre.
Per praticità ricordiamo che ogni proporzione si scrive secondo lo schema estremo : medio = medio : estremo. Rapportato al caso che stiamo esaminando lo schema diventerà quantità percentuale : quantità totale = tasso percentuale : 100.
Prendiamo un problema semplice sul calcolo della quantità totale. Sappiamo che in un magazzino ci sono 14 scatoloni pieni di conserve e che rappresentano il 20% della merce totale. Volendo scoprire quanti sono in tutto gli scatoloni presenti nel magazzino proviamo impostare la proporzione per il calcolo percentuale. I dati che abbiamo a disposizione sono la quantità percentuale (14) e il tasso (20%). la quantità totale è l’incognita quindi la indicheremo come “x”.
Avremo perciò 14 : x = 20 : 100. Dato che il termine mancante è un medio per ricavarlo secondo le regole delle proporzioni bisogna moltiplicare fra loro gli estremi. Dopodiché il risultato si divide per il medio già noto. Di conseguenza faremo 14 x 100 = 1.400 per poi dividere questa cifra per 20. Otteniamo 1.400 : 20 = 70 scatoloni.
Decremento e incremento percentuale
Il calcolo percentuale si può usare anche per determinare il tasso di aumento o di diminuzione di una determinata grandezza. Per farlo però ci sono due formule in più da imparare, che tengono conto della quantità di partenza e di quella finale per stabilire la variazione sotto forma di percentuale. Si usano ad esempio per il calcolo dell’inflazione o per la crescita demografica di una popolazione.
La formula per calcolare l’incremento percentuale è [(xf/xi x 100) – 100] %. In particolare xf rappresenta il valore finale della grandezza e xi quello iniziale. Prendiamo il caso in cui una persona veda il proprio stipendio aumentare da 1.300 euro al mese a 1.540. Per capire di quanto sia stato l’aumento in percentuale dovremmo fare [(1.540/1.300 x100) – 100]% = 18,46%.
Per quanto riguarda il decremento di una grandezza, la formula del calcolo percentuale da usare è esattamente la stessa. L’unica differenza evidente è che il valore finale xf sarà inferiore a xi, diversamente dal caso precedente. Prendiamo l’esempio di un paese dove la popolazione in un anno è passata da 5.500 a 5.310 abitanti. Usando la formula già vista scriviamo [(5.310/5.500 x 100) – 100]% = -3,45%. Il tasso d’incremento è negativo quindi si tratta di un decremento. Diremo allora che la popolazione è diminuita del 3,45%.